题目内容
已知定义在实数集上的函数fn（x）=xn，n∈N*，其导函数记为fn′（x），且满足f2′[x1+a(x2-x1)]=| f2(x2)-f2(x1) |
| x2-x1 |
（1）试求a的值；
（2）记函数F（x）=b•f1（x）-lnf3（x），x∈（0，e]，若F（x）的最小值为6，求实数b的值；
（3）对于（2）中的b，设函数g(x)=(
| b |
| 3 |
| y2-y1 |
| x2-x1 |
分析：（1）根据所给的函数，对函数求导，根据题意写出满足的关系式，求出字母系数的值．
（2）根据所给的函数，对函数求导，根据函数求最值的过程，先求出函数的单调性，根据单调性做出函数的单调区间，进一步做出函数的最值．
（3）先猜测三个变量的大小，要证三个变量之间的这种大小关系，只要构造新不等式，只需证ex1＜ex0＜ex2，结合条件中所给的关系，利用函数的单调性得到结论．
（2）根据所给的函数，对函数求导，根据函数求最值的过程，先求出函数的单调性，根据单调性做出函数的单调区间，进一步做出函数的最值．
（3）先猜测三个变量的大小，要证三个变量之间的这种大小关系，只要构造新不等式，只需证ex1＜ex0＜ex2，结合条件中所给的关系，利用函数的单调性得到结论．
解答：解：（1）f2（x）=x2，f2′（x）=2x
依题意，2•[x1+a(x2-x1)]=
，得，a=
．
（2）F（x）=bx-3lnx，F′(x)=b-
，x∈（0，e]，
①若b≤
，F′(x)=a-
≤0，F（x）在（0，e]上单调递减，
F（x）的最小值是F（e），由a1（x），a2（x），a3（x）得，b=
（舍去）；
②若b＞
，F′(x)=
(x-
)，令F'（x）=0得x=
，
当x∈(0，
)时，F'（x）＜0，F（x）在(0，
)上单调递减；
当x∈(
，e]时，F'（x）＞0，F（x）在(
，e]上单调递增；
所以F（x）的最小值是F(
)，由F(
)=6得，b=3e．
（3）g（x）=ex，猜测x1＜x0＜x2．
只需证ex1＜ex0＜ex2，∵g′(x0)=ex0=
=
，
故只需证ex1＜
＜ex2，
即证：ex1+ex1(x2-x1)-ex2＜0，且ex2-ex2(x2-x1)-ex1＜0，
设h(x)=ex+ex(x2-x)-ex2，h'（x）=-ex（x-x2），当x≤x2时，h'（x）≥0，
∴h（x）在（-∞，x2]上是增函数，
∵x1＜x2，∴h（x1）＜h（x2），即ex1+ex1(x2-x1)-ex2＜0，
设φ(x)=ex-ex(x-x1)-ex1，则φ'（x）=-ex（x-x1），当x≥x1时，φ'（x）≤0，
∴φ（x）在[x1，+∞）上是减函数，
∵x1＜x2，∴φ（x1）＞φ（x2），即ex2-ex2(x2-x1)-ex1＜0．
综上所述，x1＜x0＜x2．
依题意，2•[x1+a(x2-x1)]=
| ||||
| x2-x1 |
| 1 |
| 2 |
（2）F（x）=bx-3lnx，F′(x)=b-
| 3 |
| x |
①若b≤
| 3 |
| e |
| 3 |
| x |
F（x）的最小值是F（e），由a1（x），a2（x），a3（x）得，b=
| 9 |
| e |
②若b＞
| 3 |
| e |
| b |
| x |
| 3 |
| b |
| 3 |
| b |
当x∈(0，
| 3 |
| b |
| 3 |
| b |
当x∈(
| 3 |
| b |
| 3 |
| b |
所以F（x）的最小值是F(
| 3 |
| b |
| 3 |
| b |
（3）g（x）=ex，猜测x1＜x0＜x2．
只需证ex1＜ex0＜ex2，∵g′(x0)=ex0=
| y2-y1 |
| x2-x1 |
| ex2-ex1 |
| x2-x1 |
故只需证ex1＜
| ex2-ex1 |
| x2-x1 |
即证：ex1+ex1(x2-x1)-ex2＜0，且ex2-ex2(x2-x1)-ex1＜0，
设h(x)=ex+ex(x2-x)-ex2，h'（x）=-ex（x-x2），当x≤x2时，h'（x）≥0，
∴h（x）在（-∞，x2]上是增函数，
∵x1＜x2，∴h（x1）＜h（x2），即ex1+ex1(x2-x1)-ex2＜0，
设φ(x)=ex-ex(x-x1)-ex1，则φ'（x）=-ex（x-x1），当x≥x1时，φ'（x）≤0，
∴φ（x）在[x1，+∞）上是减函数，
∵x1＜x2，∴φ（x1）＞φ（x2），即ex2-ex2(x2-x1)-ex1＜0．
综上所述，x1＜x0＜x2．
点评：本题考查函数的单调区间和单调性的应用，本题解题的关键是猜测和证明的过程非常重要，再者题目要证明一个不等式成立，题目做了铺垫，始终根据函数的性质解题．
练习册系列答案
相关题目