题目内容
设函数f（x）=lg（x+| x2+1 |
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给予证明；
（2）证明函数f（x）在其定义域上是单调增函数；
分析：（1）根据题意先判断再用定义证明，证明时应先求出定义域并判断是否关于原点对称，再验证f（x）和f（-x）的关系，再由奇函数的定义得出结论；
（2）用定义证明函数单调性的五个步骤，本题是对真数作差比较大小，利用分子有理化进行变形在判断真数的大小，在转化到比较函数值得大小．
（2）用定义证明函数单调性的五个步骤，本题是对真数作差比较大小，利用分子有理化进行变形在判断真数的大小，在转化到比较函数值得大小．
解答：解：（1）它是奇函数．
由
得x∈R，
即所给函数的定义域为R，显然它关于原点对称，
又∵f(-x)=lg(-x+
)=lg(x+
)-1=-lg(x+
)=-f(x)
∴函数f（x）是奇函数．
（2）证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=lg
．
令t=x+
，则t1-t2=（x1+
）-（x2+
）
=（x1-x2）+（
-
）=（x1-x2）+
．
=
∵x1-x2＜0，
+x1＞0，
+x2，
+
＞0，
∴t1-t2＜0，∴0＜t1＜t2，∴0＜
＜1，
∴f（x1）-f（x2）＜lg1=0，即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在R上是单调增函数．
由
|
即所给函数的定义域为R，显然它关于原点对称，
又∵f(-x)=lg(-x+
| x2+1 |
| x2+1 |
| x2+1 |
∴函数f（x）是奇函数．
（2）证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=lg
x1+
| ||
x2+
|
令t=x+
| x2+1 |
| x12+1 |
| x22+1 |
=（x1-x2）+（
| x12+1 |
| x22+1 |
| (x1-x2)(x1+x2) | ||||
|
=
(x1-x2)(
| ||||
|
∵x1-x2＜0，
| x12+1 |
| x22+1 |
| x12+1 |
| x22+1 |
∴t1-t2＜0，∴0＜t1＜t2，∴0＜
| t1 |
| t2 |
∴f（x1）-f（x2）＜lg1=0，即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在R上是单调增函数．
点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性的证明，即用定义法进行证明，注意证明奇偶性时应先判断定义域关于原点对称；证明单调性的步骤即设值、作差、变形、判断符号、下结论，对于有关对数函数的复合函数时可转化为比较真数的大小．
练习册系列答案
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设函数f（x）=
，若f（x0）＞0则x0取值范围是（ ）
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| A、（-∞，-1）∪（1，+∞） |
| B、（-∞，-1）∪（0，+∞） |
| C、（-1，0）∪（0，1） |
| D、（-1，0）∪（0，+∞） |