Question

7．若向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=4，（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）=-72，则|$\overrightarrow{a}$|=6．

Answer 1

分析 利用多项式乘多项式把（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）=-72的左边展开，再把$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=4代入化为关于$|\overrightarrow{a}|$的一元二次方程，则答案可求．

解答 解：由（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）=-72，得$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-6|\overrightarrow{b}{|}^{2}=-72$，
即$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞-6|\overrightarrow{b}{|}^{2}=-72$，
又$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=4，
∴$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-2|\overrightarrow{a}|-24=0$，解得|$\overrightarrow{a}$|=6．
故答案为：6．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，关键是对数量积公式的记忆，是中档题．