Question

17．如图l是东西走向的一水管，在水管北侧有两个半径都是10m的圆形蓄水池A，B（A，B分别为蓄水池的圆心），经测量，点A，B到水管l的距离分别为55m和25m，AB=50m．以l所在直线为x轴，过点A且与l垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（O为坐标原点）．
（1）求圆B的方程；
（2）计划在水管l上的点P处安装一接口，并从接口出发铺设两条水管，将l中的水引到A，B两个蓄水池中，问点P到点O的距离为多少时，铺设的两条水管总长度最小？并求出该最小值．

Answer 1

分析 （1）求出圆的圆心坐标，即可写出圆的方程．
（2）圆A关于x轴对称的圆为圆D，求出D（0，-55）又B（40，25），求出直线BD的方程为2x-y-55=0，当D，P，B三点共线时DP+BP最小即AP+BP最小，求出P的坐标．

解答 解：作BC⊥OA于点C，则在直角△ABC中，AB=50，AC=55-25=30，
所以BC=40，
又B到x轴的距离为25，
所以B（40，25）…（3分）
所以圆B的方程为（x-40）²+（y-25）²=100．…（6分）
（2）设圆A关于x轴对称的圆为圆D，
则圆D：x²+（y+55）²=100，…（8分）
D（0，-55）又B（40，25）
所以${k_{DB}}=\frac{25-（-55）}{40-0}=2$
所以直线BD的方程为2x-y-55=0…（10分）
因为AP=DP，
所以AP+BP=DP+BP，
所以当点D，P，B三点共线时DP+BP最小即AP+BP最小，
最小值为$\sqrt{{{40}^2}+{{80}^2}}=40\sqrt{5}$…（14分）．
由$\left\{\begin{array}{l}x-2y-55=0\\ y=0\end{array}\right.$，
解得P（0，$\frac{55}{2}$）．…（16分）

点评 本题考查圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系，考查计算能力．