Question

已知圆锥曲线E：

(x-c)2+y2

+

(x+c)2+y2

=4c（c为正常数，过原点O的直线与曲线E交于P、A两点，其中P在第一象限，B是曲线E上不同于P，A的点，直线PB，AB的斜率分别为k₁，k₂，且k₁k₂≠0．
（Ⅰ）若P点坐标为（1，

3

2

），求圆锥曲线E的标准方程；
（Ⅱ）求k₁•k₂的值；
（Ⅲ）若PD⊥x轴于点D，D点坐标为（m，0），存在μ∈R使

AD

=μ

BD

，且直线AB与直线l：x=

4c2

m

交于点M，记直线PA、PM的斜率分别为k₃，k₄，问是否存在常数λ，使k₁+k₃=λk₄，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由圆锥曲线E满足：

(x-c)2+y2

+

(x+c)2+y2

=4c（c为正常数）．可得：点E的轨迹是以（±c，0）为焦点，4c为长轴长的椭圆，可得方程为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1．把（1，

3

2

）代入解出即可．
（II）设P（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A（-x₁，-y₁）．代入椭圆方程相减可得

y 2 2 - y 2 1

x 2 2 - x 2 1

=-

3

4

．利用斜率计算公式可得k₁k₂=

y2-y1

x2-x1

•

y2+y1

x2+x1

=

y 2 2 - y 2 1

x 2 2 - x 2 1

即可得出．
（III）设P（x₁，y₁），则A（-x₁，-y₁），D（x₁，0），直线x=

4c2

m

（m=x₁）．可得k2=

y1

2x1

，k₃=

y1

x1

．利用k₁k₂=-

3

4

．可得k₁=

-3x1

2y1

．利用A，D，M三点共线可得y_M=

y1

2x1

(

4c2

x1

-x1)．得到k₄=

yM-y1

4c2 x1 -x1

=

y1

2x1

-

y1x1

4c2- x 2 1

．假设存在常数λ，使k₁+k₃=λk₄，可得

y1

x1

-

3x1

2y1

=λ(

y1

2x1

-

x1y1

4c2- x 2 1

)，由于4

y

2 1

=12c2-3

x

2 1

，代入上式可得λ为常数．

解答： 解：（I）由圆锥曲线E满足：

(x-c)2+y2

+

(x+c)2+y2

=4c（c为正常数）．
∴点E的轨迹是以（±c，0）为焦点，4c为长轴长的椭圆，
可得方程为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1．
把（1，

3

2

）代入可得

1

4c2

+

3

4c2

=1，解得c²=1，
∴椭圆E的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．

（II）设P（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A（-x₁，-y₁）．
∴

x 2 1

4c2

+

y 2 1

3c2

=1，

x 2 2

4c2

+

y 2 2

3c2

=1，
∴

y 2 2 - y 2 1

3c2

+

x 2 2 - x 2 1

4c2

=0，
∴

y 2 2 - y 2 1

x 2 2 - x 2 1

=-

3

4

．
∴k₁k₂=

y2-y1

x2-x1

•

y2+y1

x2+x1

=

y 2 2 - y 2 1

x 2 2 - x 2 1

=-

3

4

．

（III）设P（x₁，y₁），则A（-x₁，-y₁），D（x₁，0），直线x=

4c2

m

（m=x₁）．
k2=

y1

2x1

，k₃=

y1

x1

．
∵k₁k₂=-

3

4

．
∴k₁=

-3x1

2y1

．
∵

yM

4c2 x1 -x1

=

y2

2x1

，
∴y_M=

y1

2x1

(

4c2

x1

-x1)．
∴k₄=

yM-y1

4c2 x1 -x1

=

y1

2x1

-

y1x1

4c2- x 2 1

．
假设存在常数λ，使k₁+k₃=λk₄，
则

y1

x1

-

3x1

2y1

=λ(

y1

2x1

-

x1y1

4c2- x 2 1

)，
化为λ=

2 y 2 1 -3 x 2 1

y 2 1

×

4c2- x 2 1

4c2-3 x 2 1

，
∵4

y

2 1

=12c2-3

x

2 1

，
代入上式可得λ=

24c2-18 x 2 1

12c2-3 x 2 1

×

4c2- x 2 1

4c2-3 x 2 1

=2，
∴存在常数λ=2，使k₁+k₃=λk₄成立．

点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立、斜率计算公式，考查了利用已经证明的结论解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．