Question

已知双曲线的中心在原点，左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为

2

，且过点(4，-

10

)，
（1）求此双曲线的标准方程；
（2）若直线系kx-y-3k+m=0（其中k为参数）所过的定点M恰在双曲线上，求证：F₁M⊥F₂M．

Answer 1

（1）∵e=

2

，∴

c

a

=

2

，∴c²=2a²=a²+b²，∴a=b，
∴设双曲线方程为x²-y²=a²（a＞0），∵双曲线经过(4，-

10

)，∴16-10=a²即a²=6，
∴所求双曲线方程为

x2

6

-

y2

6

=1．----------（4分）
（2）∵直线系方程可化为k（x-3）-y+m=0
∴直线系过定点M（3，m）．------------（5分）
∵M（3，m）在双曲线上，∴9-m²=6，，∴m²=3
又双曲线焦点坐标为F1(-2

3

，0)，F2(2

3

，0)
∴kF1M=

m

3+2 3

，kF2M=

m

3-2 3

-----------（7分）
∴kF1M•kF2M=

m2

(3+2 3 )(3-2 3 )

=-1∴F₁M⊥F₂M----------（10分）