题目内容

已知圆的方程为x2+y2=4，过点M（2，4）作圆的两条切线，切点分别为A1、A2，直线A1A2恰好经过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线x=-1与椭圆相交于A、B两点，P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交定直线l：x=-4于两点Q、R，求证
OQ
•
OR
为定值．
（Ⅰ）观察知，x=2是圆的一条切线，切点为A1（2，0），
设O为圆心，根据圆的切线性质，MO⊥A1A2，
∴kA1A2=-
1
kMO
=-
1
2
，
∴直线A1A2的方程为y=-
1
2
(x-2)．
直线A1A2与y轴相交于（0，1），依题意a=2，b=1，
所求椭圆的方程为
x2
4
+y2=1．
（Ⅱ）椭圆方程为
x2
4
+y2=1，设P（x0，y0），A（-1，t），B（-1，-t），
则有
x20
+4
y20
-4=0，
1
4
+t2=1，
在直线AP的方程y-t=
t-y0
-1-x0
(x+1)中，令x=-4，整理得yQ=
(4+x0)t-3y0
(1+x0)
．①
同理，yR=
-3y0-(4+x0)t
(1+x0)
．②
①×②，并将
y20
=1-
1
4
x20
，t2=
3
4
代入得yQ•yR=
9
y20
-(4+x0)2t2
(1+x0)2

=
9(1-
1
4
x20
)-(4+x0)2•
3
4
(1+x0)2
=
-3(1+x0)2
(1+x0)2
=-3．
而
OQ
•
OR
=(-4，yQ)•(-4，yR)=16+yQ•yR=13为定值．
练习册系列答案
相关题目
已知抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点A（m，4）到其焦点F的距离为
17
4
．
（1）求P与m的值；
（2）若直线l过焦点F交抛物线于P，Q两点，且|PQ|=5，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
2
2
，椭圆C上的点到左焦点F距离的最小值与最大值之积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l过椭圆C内一点M（m，0），与椭圆C交于P、Q两点．对给定的m值，若存在直线l及直线母x=-2上的点N，使得△PNQ的垂心恰为点F，求m的取值范围．
已知双曲线的中心在原点，左右焦点分别为F1，F2，离心率为
2
，且过点(4，-
10
)，
（1）求此双曲线的标准方程；
（2）若直线系kx-y-3k+m=0（其中k为参数）所过的定点M恰在双曲线上，求证：F1M⊥F2M．
已知椭圆
x2
2
+
y2
4
=1两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足
PF1
•
PF2
=1，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点．
（1）求P点坐标；
（2）求证：直线AB的斜率为定值；
（3）求△PAB面积的最大值．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)过点(
3
，
2
2
)，它的离心率为
6
2
，P、Q分别在双曲线的两条渐近线上，M是线段PQ中点，|PQ|=2
2
．
（Ⅰ）求双曲线及其渐近线方程；
（Ⅱ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅲ）过C左焦点F1的直线l与C相交于点A、B，F2为C的右焦点，求△ABF2面积最大时
F2A
•
F2B
的值．
若直线y=k（x-2）+1与曲线y=-
1-x2
有两上不同的交点，则k的取值范围是（　　）
A．[1，
4
3
]		B．[1，
4
3
)		C．(
3
4
，1]		D．(0，
4
3
)
已知椭圆：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
（Ⅰ）若椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为2+
3
和2-
3
，求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，过坐标原点O任作两条互相垂直的直线与椭圆分别交于P、Q和R、S四点．设原点O到四边形PRQS某一边的距离为d，试求：当d=1时
1
a2
+
1
b2
的值．
平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）右焦点的直线x+y-
3
=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为
1
2
．
（Ⅰ）求M的方程
（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．

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