Question

已知抛物线C：y²=x，直线l：y=k（x-1）+1，要使抛物线C上存在关于对称的两点，求实数k的取值范围．

Answer 1

设C上两点A、B两点关于l对称，AB的中点为P（x₀，y₀）（₀≠0），
∴k_AB=

p

y0

=

1 2

y0

=-

1

k

，
∴y₀=-

1

2

k，
∵P∈l，
∴y₀=k（x₀-1）+1，
∴-

1

2

k=k（x₀-1）+1，
∴x₀=

1

2

-

1

k

，
∴P（

1

2

-

1

k

，-

1

2

k），
∵P在抛物线内，
∴

1

4

k2＜

1

2

-

1

k

，
∴

k3-2k+4

4k

＜0，
∴

(k+2)(k2-2k+2)

4k

＜0，
∴-2＜k＜0．