Question

如图，S-ABC是三条棱两两互相垂直的三棱锥，O为底面ABC内一点，若∠OSA=α，∠OSB=β，∠OSC=γ，那么tanαtanβtanγ的取值范围为

[2

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：过O分别作与SA、SB、SC平行的平面交三棱锥的侧棱，侧面于各点，补形得到以SO为对角线的长方体，利用长方体体对角线的平方等于过一个顶点的三条棱的平方和得到cos²α+cos²β+cos²γ=1，移向变形得到sin²α=1-cos²α=cos²β+cos²γ≥2cosβcosγ及另外类似的两个式子，作积后整理即可得到答案．

解答：解：如图，
过O分别作与SA、SB、SC平行的平面交三棱锥的侧棱，侧面于如图所示的点，
得到的图形是以SO为对角线的长方体，
则cos²α+cos²β+cos²γ=

SD2

SO2

+

SE2

SO2

+

SF2

SO2

=1．
所以sin²α=1-cos²α=cos²β+cos²γ≥2cosβcosγ．
同理sin²β≥2cosαcosγ，sin²γ≥2cosαcosβ．
则sin²α•sin²β•sin²γ≥8cos²α•cos²β•cos²γ．
所以tanα•tanβ•tanγ≥2

2

．
故答案为[2

2

，+∞)．

点评：本题考查了棱锥的结构特征，考查了同角三角函数的基本关系式，解答的关键是想到补形，把零散的角集中到一个长方体中解决，此题属中档题．