Question

已知a＞1，命题p：a（x-2）+1＞0，命题q：（x-1）²＞a（x-2）+1＞0．若命题p、q同时成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：命题p、q同时成立，说明不等式组

a(x-2)+1＞0 (x-1)2＞a(x-2)+1.

解集为非空集合，化简整理得

x＞2- 1 a (x-a)(x-2)＞0

．接下来分三种情况加以讨论：①当1＜a＜2时，有

x＞2- 1 a x＞2或x＜a

，结合a＞2-

1

a

，可得此时x的取值范围为（2-

1

a

，a）∪（2，+∞）；②当a=2时，易得此时x的取值范围为（

3

2

，2）∪（2，+∞）；③当a＞2时，对照①的分析，可得此时x的取值范围为（2-

1

a

，2）∪（a，+∞）．

解答：解：依题意，命题p、q同时成立，说明不等式组

a(x-2)+1＞0 (x-1)2＞a(x-2)+1.

解集为非空集合，
即

ax＞2a-1 (x-1)2-a(x-2)-1＞0

解集非空，结合已知条件a＞1，解得

x＞2- 1 a (x-a)(x-2)＞0.

（4分）
①当1＜a＜2时，则有

x＞2- 1 a x＞2或x＜a

，
而a-（2-

1

a

）=a+

1

a

-2＞0，即a＞2-

1

a

，
∴不等式组的解为：x＞2或2-

1

a

＜x＜a．
因此，此时x的取值范围为（2-

1

a

，a）∪（2，+∞）．（6分）
②当a=2时，则x＞

3

2

且x≠2，此时x的取值范围为（

3

2

，2）∪（2，+∞）．（8分）
③当a＞2时，则有

x＞2- 1 a x＞a或x＜2.

⇒x＞a或2-

1

a

＜x＜2．（10分）
因此，此时x的取值范围为（2-

1

a

，2）∪（a，+∞）．（12分）

点评：本题以复合命题的真假判断为载体，着重考查了不等式的同解变形、含有字母参数的不等式组的解法等知识点，属于中档题．