Question

已知a＞1，命题P：a （x-2）+1＞0，命题Q：

a-2

x-2

＜1，求使命题P与命题Q都成立的x的集合．

Answer 1

分析：由题意得

a(x-2)+1＞0 a-2 x-2 ＜1

⇒

x＞2- 1 a (x-a)(x-2)＞0

，要求不等式的解集，则要比较a与2的大小及2-

1

a

与a的大小，则分①若1＜a＜2，②若a=2③若a＞2三种情况讨论求解

解答：解：由题意得

a(x-2)+1＞0 a-2 x-2 ＜1

⇒

x＞2- 1 a (x-a)(x-2)＞0

…（4分）
①若1＜a＜2，则

x＞2- 1 a x＞2或x＜a

…（6分）
而a-（2-

1

a

）=a+

1

a

-2＞0
∴a＞2-

1

a

∴x＞2或2-

1

a

＜x＜a，即x∈{ x|x＞2或2-

1

a

＜x＜a }．…（8分）
②若a=2时，则有x∈{ x|x＞

3

2

且x≠2 }．…（10分）
③若a＞2时，则有

x＞2- 1 a x＞a或x＜2

∴x∈{ x|x＞a或2-

1

a

＜x＜2 }．…（12分）

点评：本题主要考查了分式不等式及一次不等式的求解，解题的难点在于需要对参数a的范围的讨论