Question

已知函数f（x）满足（其中为f（x）在点处的导数，C为常数）。
（1）求的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）设函数g（x）=[f（x）-x³]·e^x，若函数g（x）在[-3，2]上单调，求实数C的取值范围。

Answer 1

解：（1）由f（x）=x³+f'
得f'（x）=3x²+2f'
取，得f'
解得f'。
（2）因为f（x）=x³-x²-x+C
从而f'（x）=3x²-2x-1=，列表如下：

∴f（x）的单调递增区间是和（1，+∞）；
f（x）的单调递减区间是。
（3）函数g（x）=[f（x）-x³]·e^x=（-x²-x+C）·e^x，
有g'（x）=（-2x-1）e^x+（-x²-x+C）e^x
=（-x²-3x+C-1）e^x，
当函数在区间x∈[-3，2]上为单调递增时，
等价于h（x）=-x²-3x+C-1≥0在x∈[-3，2]上恒成立，只要h（2）≥0，解得C≥11，
当函数在区间x∈[-3，2]上为单调递减时，等价于h（x）=-x²-3x+C-1≤0在x∈[-3，2]上恒成立，
即Δ=9+4（C-1）≤0，解得
所以C的取值范围是C≥11或。