Question

5．已知f（x）=3^x+2xf′（1），则曲线f（x）在点x=0处的切线在x轴上的截距为$\frac{1}{5ln3}$．

Answer 1

分析 由题意求出f′（x）令x=1代入求出f′（1），可求出f（x）和f′（x）的表达式，再求出f（0）和f′（0）的值，代入点斜式方程化简求出切线方程，令y=0代入切线方程求出x的值即可．

解答 解：由题意知，f（x）=3^x+2xf′（1），
∴f′（x）=（ln3）•3^x+2f′（1），
令x=1代入上式得，f′（1）=（ln3）•3+2f′（1），
解得f′（1）=-3ln3，
∴f（x）=3^x-6（ln3）x，f′（x）=（ln3）•3^x-6ln3，
∴f（0）=1，f′（0）=ln3-6ln3=-5ln3，
则在x=0处的切线方程是y-1=-5ln3（x-0），即y=-5（ln3）x+1，
令y=0代入得，x=$\frac{1}{5ln3}$，
∴曲线f（x）在x=0处的切线在x轴上的截距为：$\frac{1}{5ln3}$，
故答案为$\frac{1}{5ln3}$．

点评 本题考查求导公式，导数的几何意义以及切线方程，以及直线的截距问题，是中档题．