Question

已知函数f(x)＝－x³＋ax²＋bx＋c在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点．

(1)求b的值      (2)求f(2)的取值范围

Answer 1

　(1)0　(2)

【解析】　(1)∵f(x)＝－x³＋ax²＋bx＋c，

∴f ′(x)＝－3x²＋2ax＋b. …………3分

∵f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，

∴当x＝0时，f(x)取到极小值，即f ′(0)＝0，

∴b＝0.

(2)由(1)知，f(x)＝－x³＋ax²＋c，

∵1是函数f(x)的一个零点，即f(1)＝0，∴c＝1－a.

∵f′(x)＝－3x²＋2ax＝0的两个根分别为x₁＝0，x₂＝.

又∵f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，且函数f(x)在R上有三个零点，

∴应是f(x)的一个极大值点，因此应有x₂＝>1，即a>.

∴f(2)＝－8＋4a＋(1－a)＝3a－7>－.

故f(2)的取值范围为.