Question

已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，侧棱与底面垂直，底面ABCD是菱形且∠BAD=60°，侧棱与底面边长均为2，则面AB₁C与底面A₁B₁C₁D₁，ABCD所成角的正弦值为

1. A.
   
2. B.
   2
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：题目是求二面角的正弦值问题，根据给出的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，且底面为菱形这两个条件，连接底面菱形的对角线相交于一点O，再连接B₁O后即可得到要求的二面角的平面角，然后结合题目给出的角的大小及棱的长度，在直角三角形中可求得则面AB₁C与底面A₁B₁C₁D₁所成二面角的正弦值．
解答：解：如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵侧棱与底面垂直，∴B₁B⊥面ABCD，
∵AC?面ABCD，∴B₁B⊥AC．
连接AC、BD，设AC∩BD=O，连接B₁O，
∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵B₁B⊥AC，又BB₁∩BD=B，
∴AC⊥面B₁BD，
∵OB₁?面B₁BD，∴AC⊥OB₁．
∴∠B₁OB为二面角B₁-AC-B的平面角，
即面AB₁C与底面ABCD所成的角，
∵面A₁B₁C₁D₁∥面ABCD，
亦即为面AB₁C与底面A₁B₁C₁D₁所成的角．
∵底面ABCD是菱形，且∠BAD=60°，∴∠BAO=30°，
在直角三角形AOB中，∵∠BAO=30°，AB=2，∴OB=1．
再在直角三角形OBB₁中，∵OB=1，BB₁=2，∴．
∴．
∴则面AB₁C与底面A₁B₁C₁D₁，ABCD所成角的正弦值为．
故选D．
点评：本题考查了空间中线面垂直的判定和性质，考查了二面角的平面角的找法，本题因给出的几何体具有较好的对称性，所以寻找二面角的平面角相对容易，如果二面角的平面角不易寻找时，涉及二面角的平面角问题可以借助于空间向量来处理，把二面角转化为平面法向量所成角的问题，此题属中档题．