Question

【题目】已知数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）已知数列的通项公式为，若对于一切，不等式恒成立，求实数的取值范围.

（3）设，是否存在正整数，使得数列中存在某项满足成等差数列？若存在，求出符合题意的的集合；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，的集合为，4，6，10，18，

【解析】

（1）求得数列的首项，再将换为，两式相除，化简，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；

（2）求得，运用作差判断数列的单调性，可得最小值，结合不等式恒成立问题解法，可得，由对数函数的单调性可得所求的范围；

（3）求得，假设存在正整数，使得数列中存在满足，，，成等差数列，运用等差数列的中项性质和整除的性质，可判断存在性．

（1）数列满足，

可得时，，即，

时，，又，

两式相除可得，化为，

即数列为首项为2，公差为1的等差数列，可得；

（2），，

设，

，

可得，

则数列为递增数列，的最小值为，

对于一切，不等式恒成立，

可得，即有或

解得：；

（3）设，则，，，

假设存在正整数，使得数列中存在满足，，，成等差数列，

可得，即，

当时，无解；当时，，

又为正整数，为不小于6的正整数，可得，2，4，8，16，32，

即，25，17，13，11，10，满足题意，

故存在正整数，使得数列中存在满足，，，成等差数列，

且的集合为，4，6，10，18，．