Question

已知函数f(x)=|x－A|,g(x)=x²+2Ax+1（A为正常数），且函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等.

（1）求A的值；

（2）求函数f(x)+g(x)的单调递增区间

（3）若n为正整数，证明：10^f(n)·()^g(n)<4.

Answer 1

答案：
解析：

（1）由题意，f(0)=g(0)，|A|=1，又A>0，所以A=1. （2）f(x)+g(x)=|x－1|+x2+2x+1. 当x≥时，f(x)+g(x)=x2+3x，它在[1,+∞)上单调递增； 当x<1时，f(x)+g(x)=x2+x+2，它在[－,1)上单调递增. （3）设Cn=10f(n)·()g(n)，考查数列{Cn}的变化规律： 解不等式<1，由Cn>0，上式化为10·()2n+3<1，解得n>≈3.7. 因n∈N*，得n≥4，于是C1≤C2≤C3≤C4.而C4>C5>C6>…， 所以10f(n)·()g(n)≤10f(4)·()g(4)=103·()25<4.