Question

20．已知sin（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，x∈（π，$\frac{5π}{4}$），求cos（2x-$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 由正弦加法定理得到sinx-cosx=$\frac{1}{5}$，利用同角三角函数关系式和倍角公式得到求出sin2x，cos2x，由此能求出cos（2x-$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：∵sin（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，x∈（π，$\frac{5π}{4}$），
∴sinxcos$\frac{π}{4}$-cosxsin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinx-cosx）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∴sinx-cosx=$\frac{1}{5}$，
∴1-2sinxcosx=$\frac{1}{25}$，∴2sinxcosx=sin2x=$\frac{24}{25}$，
∵x∈（π，$\frac{5π}{4}$），∴2x∈（2π，$\frac{5π}{2}$），
∴cos2x=$\sqrt{1-（\frac{24}{25}）^{2}}$=$\frac{7}{25}$，
∴cos（2x-$\frac{π}{4}$）=cos2xcos$\frac{π}{4}$+sin2xsin$\frac{π}{4}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cos2x+sin2x）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{7}{25}+\frac{24}{25}$）
=$\frac{16\sqrt{2}}{25}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式和倍角公式的合理运用．