Question

已知△ABC的顶点A，B在椭圆上，C在直线l: y=x+2上，且AB∥l.

（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；

（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程.

Answer 1

解：（Ⅰ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x.

设A，B两点坐标分别为（x₁,y₁）,(x₂,y₂).

由得

所以

又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，

所以

（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m.

            由得

            因为A，B在椭圆上，

            所以

　　　  设A，B两点坐标分别为（x₁,y₁），（x₂,y₂）.

            则

　　　  所以

　　　  又因为BC的长等于点（0,m）到直线l的距离，即

            所以

　　　  所以当m=-1时，AC边最长.（这时△＝－12＋64＞0）

              此时AB所在直线的方程为y=x-1.