Question

如图，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，M、N是椭圆右准线上的两个动点，且

F1M

•

F2N

=0．
（1）设C是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆C的位置关系；
（2）设椭圆的离心率为

1

2

，MN的最小值为2

15

，求椭圆方程．

Answer 1

分析：（1）C是以MN为直径的圆，求出M，N的坐标，利用

F1M

•

F2N

=0，判断

OM

•

ON

＞0，求得原点O在圆C的内部；
（2）设椭圆的离心率为

1

2

，推出a=2c，利用基本不等式，通过MN的最小值为2

15

求出c，a，b，从而求出椭圆方程．

解答：解：（1）设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的焦距为2c（c＞0），
则其右准线方程为x=

a2

c

，且F₁（-c，0），F₂（c，0）．
设M(

a2

c

，y1)，N(

a2

c

，  y2)，
则

F1M

=(

a2

c

+c，y1)，

F2

N=(

a2

c

-c， y2)

OM

=(

a2

c

，y1)，

ON

=(

a2

c

， y2)．
因此

F1M

F2N

=0，所以(

a2

c

+c，y1)•(

a2

c

-c，y2)=0
即(

a2

c

)2+y1y2=c2．
于是

OM

•

ON

= (

a2

c

)2+y1y2=c2＞0，故∠MON为锐角．
所以原点O在圆C外．
（2）因为椭圆的离心率为

1

2

，所以a=2c，
于是M（4c，y₁）N（4c，y₂），且y1y2=c2-(

a2

c

)2=-15c2
MN²=（y₁-y₂）²=y₁²+y₂²-2y₁y₂=|y₁|²+|y₂|²+2|y₁y₂|≥4|y₁y₂|=60c²．
当且仅当y₁=-y₂=

15

c或y₂=-y₁=

15

c时取“=”号，
所以（MN）_min=2

15

c=2

15

，于是c=1，从而a=2，b=

3

，
故所求的椭圆方程是

x2

4

+

y2

3

=1．

点评：本题考查点与圆的位置关系，椭圆的标准方程，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，是中档题．