Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，
若点C满足，点C的轨迹与抛物线交于A、B两点．
（I）求证：；
（II）在轴正半轴上是否存在一定点，使得过点P的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

　（I）证明见解析              
　（II）存在．

（I）设，由知，点C的轨迹为．  2分
由消y得：．
设，，则，，          
所以，
所以，于是．              
　（II）假设存在过点P的弦EF符合题意，则此弦的斜率不为零，设此弦所在直线的方程为．
由消x得：．设，，
则，．                         
因为过点P作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的2倍，
所以即，  
所以得，所以存在．