题目内容

精英家教网如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线G：x=a2上的射影依次为点D，K，E，
（1）已知抛物线x2=4
3
y的焦点为椭圆C的上顶点．
①求椭圆C的方程；
②若直线L交y轴于点M，且
MA
=λ1
AF
，
MB
=λ2
BF
，当m变化时，求λ1+λ2的值；
（2）连接AE，BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标并给予证明；否则说明理由．
分析：（1）由题设条件知c=1，a2=b2+c2=4，椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1，再由l与y轴交于M(0，-
1
m
)，设A（x1，y1），B（x2，y2），由
x=my+1
3x2+4y2-12=0
，知（3m2+4）y2+6my-9=0，△=144（m2+1）＞0，然后由根与系数的关系能求出λ1+λ2的值；
（2）由F（1，0），k=（a2，0），先探索m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED由对称性知，AE与BD相交FK中点N，且N(
a2+1
2
，0)，再猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点N(
a2+1
2
，0)．然后结合题设条猜想进行证明．
解答：解：（1）易知b=
3
，∴b2=3，又F（1，0），∴c=1，a2=b2+c2=4
∴椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1（3分）
∵l与y轴交于M(0，-
1
m
)
设A（x1，y1），B（x2，y2），由
x=my+1
3x2+4y2-12=0

∴（3m2+4）y2+6my-9=0，△=144（m2+1）＞0∴
1
y1
+
1
y2
=
2m
3
(*)（5分）
又由
MA
=λ1
AF
，∴(x1，y1+
1
m
)=λ1(1-x1，-y1)
∴λ1=-1-
1
my1
同理λ2=-1-
1
my2

∴λ1+λ2=-2-
1
m
(
1
y1
+
1
y2
)=-2-
2
3
=-
8
3
（8分）

（3）∵F（1，0），k=（a2，0），
先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED由对称性知，AE与BD相交FK中点N，且N(
a2+1
2
，0)
猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点N(
a2+1
2
，0)（9分）
证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），E（a2，y2），D（a2，y1）
当m变化时首先AE过定点N
∵
x=my+1
b2x2+a2y2-a2b2=0
，即（a2+b2m2）y2+2mb2y+b2（1-a2）=0
又△=4a2b2（a2+m2b2-1）＞0（a＞1）
又KAN=
-y1
a2-1
2
-my1
，KEN=
-y2
1-a2
2

而KAN-KEN=
a2-1
2
(y1+y2)-my1y2
1-a2
2
(
a2-1
2
-my1)

(
a2-1
2
(y1+y2)-my1y2=
a2-1
2
•(-
2mb2
a2+m2b2
)-m•
b2(1-a2)
a2+m2b2
=
(a2-1)•(mb2-mb2)
a2+m2b2
=0)
∴KAN=KEN，∴A、N、E三点共线，
同理可得B、N、D三点共线
∴AE与BD相交于定点N(
a2+1
2
，0)（13分）
点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行猜想．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，已知直线l：x=my+1过椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的右焦点F，抛物线：x2=4
3
y的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线g：x=4上的射影依次为点D、K、E．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且
MA
=λ1
AF
，
MB
=λ2
BF
，当m变化时，探求λ1+λ2的值是否为定值？若是，求出λ1+λ2的值，否则，说明理由；
（Ⅲ）连接AE、BD，试证明当m变化时，直线AE与BD相交于定点N(
5
2
，0)．
如图，已知直线l：x=my+4（m∈R）与x轴交于点P，交抛物线y2=2ax（a＞0）于A，B两点，坐标原点O是PQ的中点，记直线AQ，BQ的斜率分别为k1，k2．
（Ⅰ）若P为抛物线的焦点，求a的值，并确定抛物线的准线与以AB为直径的圆的位置关系．
（Ⅱ）试证明：k1+k2为定值．
如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线G：x=a2上的射影依次为点D，K，E．
（1）若抛物线x2=4
3
y的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；
（2）连接AE，BD，证明：当m变化时，直线AE、BD相交于一定点．
（2012•乐山二模）如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线G；x=a2上的射影依次为点D、K、E，若抛物线x2=4
3
y的焦点为椭圆C的顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线L交y轴于点M，
MA
=λ1
AF
，
MB
=λ2
BF
，当M变化时，求λ1+λ2的值．
如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线G：x=a2上的射影依次为点D、E．
（1）若抛物线x2=4
3
y的焦点为椭圆C 的上顶点，求椭圆C的方程；（2）（理科生做）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；
否则说明理由．
（文科生做）若N(
a2+1
2
，0)为x轴上一点，求证：
AN
=λ
NE
．

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