Question

已知函数，曲线在点处的切线方程为．

（I）求a，b的值；

（II）如果当x>0，且时，，求k的取值范围．

Answer 1

解：

     （Ⅰ）

       由于直线的斜率为，且过点，故即

                                  解得，。

       （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

       。

考虑函数，则

       。

       (i)设，由知，当时，。而，故

       当时，，可得；

当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0

从而当x>0，且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.

（ii）设0<k<1.由于当x（1，）时，（k-1）（x² +1）+2x>0，故 (x）>0，而

       h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0，与题设矛盾。

（iii）设k1.此时（x）>0，而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0，与题设矛盾。

       综合得，k的取值范围为（-，0]

解：（2）由（1）知．
故要证： 只需证
为去分母，故分x>1与0<x<1两种情况讨论：

当x>1时，需证

即   即需证．       （1）

设，则
由x>1得，所以在（1，+）上为减函数．又因g（1）=0
所以 当x>1时 g（x）<0   即（1）式成立．

同理0<x<1时，需证      （2）
而由0<x<1得，所以在（0，1）上为增函数．又因g（1）=0
所以 当0<x<1时 g（x）<0   即（2）式成立．

综上所证，知要证不等式成立．

点评：抓住基本思路，去分母化简问题，不可死算．