Question

如图，在斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，BC＝2，BB₁＝4，AB＝，∠BCC₁＝60°.

（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面A₁B₁C₁；

（Ⅱ）求A₁B与平面ABC所成角的正切值；

（Ⅲ）若E为CC₁中点，求二面角A—EB₁—A₁的正切值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）由余弦定理可得BC₁＝

利用BC²＋BC₁²＝CC₁²得C₁B⊥CB，

又平面A₁B₁C₁∥平面ABC 得到 C₁B⊥平面A₁B₁C₁.

（Ⅱ）;

（Ⅲ）二面角的正切值为.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：∵BC＝2，CC₁＝4，∠BCC₁＝60°由余弦定理可得BC₁＝

∴BC²＋BC₁²＝CC₁²  ∴∠CBC₁＝90° ∴C₁B⊥CB             2分

又AB⊥面BB₁C₁C ∴C₁B⊥AB，AB∩CB＝B ∴C₁B⊥平面ABC，

又平面A₁B₁C₁∥平面ABC  ∴ C₁B⊥平面A₁B₁C₁             4分

（Ⅱ）∵平面A₁B₁C₁∥平面ABC      

∴A₁B与平面ABC所成的角等于A₁B与平面A₁B₁C₁所成的角            5分

由（Ⅰ）知C₁B⊥平面ABC  ∴C₁B⊥平面A₁B₁C₁    

∴∠BA₁C₁即为A₁B与平面A₁B₁C₁所成的角               6分

∠BC₁ A₁＝90° A₁C₁ ∴         8分

（Ⅲ）CE＝BC＝2，∠BCE＝60° ∴BE＝2 ∠EC₁B₁＝120°  C₁E＝C₁B₁＝2 ∴EB₁

∴BE²＋B₁E²＝B₁B²  ∴∠BEB₁＝90°即B₁E⊥BE  又AB⊥平面BCC₁B₁

∴B₁E⊥AE   ∴∠AEB为二面角A—EB₁—B的平面角          9分

              10分

又∵A₁B₁⊥平面B₁EB    ∴平面A₁B₁E⊥平面B₁EB

∴二面角A—EB₁—A₁的大小为＝90°－∠AEB                 11分

即所求二面角的正切值为               13分

解法二：易知，面，，面，

∴异面直线与所成角即为所求二面角的大小.        10分

∵∴即为异面直线与所成角，        11分

易得，即所求二面角的正切值为           13分

考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系、角的计算。

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。