Question

定义在R上的函数，满足当时，>1，且对任意的，有，.

(1)求的值；

(2)求证：对任意，都有>0；

(3)解不等式

Answer 1

(1)对任意x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)·f(y)．令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)·f(0)，即f(0)·[f(0)－1]＝0.

令y＝0，得f(x)＝f(x)·f(0)，对任意x∈R成立，所以f(0)≠0，因此f(0)＝1.

(2)证明：对任意x∈R，有f(x)＝f(＋)＝f()·f()＝[f()]²≥0.假设存在x₀∈R，使f(x₀)＝0，

则对任意x>0，有f(x)＝f[(x－x₀)＋x₀]＝f(x－x₀)·f(x₀)＝0.这与已知x>0时，f(x)>1矛盾．

所以，对任意x∈R，均有f(x)>0成立．