Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点且斜率大于0的直线与椭圆相交于点， ，直线， 与轴相交于， 两点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式的关系，以及点在椭圆上，列出方程；（2）设直线的方程为，联立椭圆方程，消去得，由判别式大于零，运用韦达定理，再将表示为关于的函数式，分离常数，进而可得结果.

试题解析：（1）椭圆的离心率为，所以，

过点，则，

椭圆的方程为.

（2）设直线的方程为， ， ，

直线的方程为，可得，即，

直线的方程为，可得，即.

联立，消去，整理得.

由，可得， ， ，

，

，

，

因为， ，所以，因此，即，

的取值范围是.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求范围问题，属于难题.解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中范围问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，单调性法求的范围的.