题目内容

设函数 $数学公式$ ．
（1）若 $数学公式$ 时，直线l与函数f（x）和函数g（x）的图象相切于同一点，求切线l的方程；
（2）若f（x）在[2，4]内为单调函数，求实数a的取值范围．
说明：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．

解：（1）若 $\text{[math]}$ 时，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，g'（x）=2x
因为直线l与函数f（x）、g（x）的图象相切于同一点，
从而有： $\text{[math]}$ =2x（4分）
解得 $\text{[math]}$ ，（x=-1不在定义域内，故舍去）
又f'（1）=2，f（1）=1，
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
g'（1）=2，g（1）=1；
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
①当x=1时，则l的方程为：y=2x-1
②当 $\text{[math]}$ 时，又因为点 $\text{[math]}$ 也在f（x）的图象上，
所以l的方程为 $\text{[math]}$ ．
综上所述直线l的方程为y=2x-1或 $\text{[math]}$ ．
（2）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
要使f（x）在[2，4]为单调增函数，则f′（x）≥0在[2，4]恒成立，
即 $\text{[math]}$ ≥0在[2，4]恒成立，即ax²+2x-a≥0在[2，4]恒成立，
又a（x²-1）≥-2x即 $\text{[math]}$ （2≤x≤4）（8分）
设 $\text{[math]}$ （2≤x≤4），
因为 $\text{[math]}$ ＜0（x＞0），
所以u（x）在（0，+∞）上单调递减．
∴当2≤x≤4时， $\text{[math]}$ ∈[- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ]
所以要使 $\text{[math]}$ （2≤x≤4），
只须当 $\text{[math]}$ 时即可，（10分）
同理要为f（x）单调减函数，则f′（x）≤0在[2，4]恒成立，
易得 $\text{[math]}$ ，
综上，f（x）在[2，4]为单调函数，
则a的取值范围为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ （12分）．
分析：（1）由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，两次求出的斜率相等列出关于切点的横坐标x的方程，求出切点的坐标，根据得出的切点坐标，同时由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和切线过原点写出切线方程即可．
（2）通过解f′（x），求其单调区间，转化为恒成立问题求a的取值范围．
点评：对于已知函数单调性，求参数范围问题的常见解法；设函数f（x）在（a，b）上可导，若f（x）在（a，b）上是增函数，则可得f′（x）≥0，从而建立了关于待求参数的不等式，同理，若f（x）在（a，b）上是减函数，，则可得f′（x）≤0．