Question

已知双曲线的渐近线方程为y=±

1

2

x，两顶点之间的距离为4，双曲线的标准方程为

x2

4

-y2=1或

y2

4

-

x2

16

=1

．

Answer 1

分析：根据双曲线的渐近线方程为y=±

1

2

x，且两顶点之间的距离为4，可分焦点在x轴上还是在y轴上，从而可求双曲线的标准方程．

解答：解：由题意，∵双曲线的渐近线方程为y=±

1

2

x，且两顶点之间的距离为4，
（1）当双曲线的焦点在y轴上
设双曲线的方程为：y²-

1

4

x²=k（k＞0）
两顶点之间的距离为4，∴2

k

=4，k=4
∴双曲线的方程为：

y2

4

-

x2

16

=1；
（2）当双曲线的焦点在x轴上
设双曲线的方程为：

1

4

x²-y²=k（k＞0）
两顶点之间的距离为4，∴2×2

k

=4，k=1，
∴双曲线的方程为：

x2

4

-y2=1；
故答案为：

x2

4

-y2=1或

y2

4

-

x2

16

=1．

点评：本题以双曲线的性质为载体，考查双曲线的标准方程，解题的关键是确定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上．