Question

如图，椭圆（a＞b＞0）的一个焦点为F（1,0），且过点（2，0）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．

（）求证：点M恒在椭圆C上；

（）求△AMN面积的最大值．

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）由题设a=2,c=1,从而b²=a²-c²=3,所以椭圆C的方程为．

（Ⅱ）（i）由题意得F（1,0）,N（4,0）．

设A（m, n）,则B（m, -n）（n≠0）,=1． ……（1）

AF与BN的方程分别为：n（x-1）-（m-1）y=0，

n（x-4）-（m-4）y=0．

设M（x₀,y₀）,则有

由（2），（3）得

x₀=．

所以点M恒在椭圆C上．

（）设AM的方程为x=ty+1,代入＝1得（3t²+4）y²+6ty-9=0．

设A（x₁,y₁）,M（x₂，y₂），则有：y₁+y₂=

|y₁-y₂|=

令3t²+4=λ（λ≥4）,则

|y₁-y₂|＝

因为λ≥4，0<

|y₁-y₂|有最大值3，此时AM过点F．

△AMN的面积S_△AMN=

解法二：

（Ⅰ）同解法一：

（Ⅱ）（）由题意得F（1,0）,N（4,0）．

设A（m, n）,则B（m,-n）（n≠0）,              ……①

AF与BN的方程分别为：n（x-1）-（m-1）y=0,                  ……②

n（x-4）-（m-4）y=0,                  ……③

由②，③得：当≠．          ……④

由④代入①，得=1（y≠0）．

当x=时，由②，③得：

解得与n≠0矛盾．

所以点M的轨迹方程为即点M恒在椭圆C上．

（）同解法一．