Question

如图，椭圆（a＞b＞0）过点，其左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率，M，N是椭圆右准线上的两个动点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）求MN的最小值；
（3）以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为：，且过点，列出关于a，b的方程，解得a，b．最后写出椭圆方程即可；
（2）设点M（4，y₁），N（4，y₂）写出向量的坐标，利用向量的数量积得到y₁y₂=-15，又，结合基本不等式即可求得MN的最小值；
（3）利用圆心C的坐标和半径得出圆C的方程，再令y=0，得x²-8x+1=0从而得出圆C过定点．
解答：解：（1）∵，且过点，
∴解得
∴椭圆方程为．（4分）
（2）设点M（4，y₁），N（4，y₂）则，，
∴y₁y₂=-15，
又∵，
∴MN的最小值为．
（3）圆心C的坐标为，半径．
圆C的方程为，
整理得：x²+y²-8x-（y₁+y₂）y+16+y₁y₂=0．∵y₁y₂=-15，∴x²+y²-8x-（y₁+y₂）y+1=0
令y=0，得x²-8x+1=0，∴．∴圆C过定点．
点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、圆与圆锥曲线的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．