Question

集合M由满足以下条件的函数f（x）组成：对任意x₁，x₂∈[-1，1]时，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4|x₁-x₂|．对于两个函数f1(x)=x2-2x+5，  f2(x)=

|x|

，以下关系成立的是（　　）．

• A、f₁（x）∈M，f₂（x）∈M
• B、f₁（x）∉M，f₂（x）∉M
• C、f₁（x）∉M，f₂（x）∈M
• D、f₁（x）∈M，f₂（x）∉M

Answer 1

分析：首先分析题目已知集合M由f（x）组成，f（x）满足对任意x₁，x₂∈[-1，1]时，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4|x₁-x₂|．
故下需证明函数f1(x)=x2-2x+5，  f2(x)=

|x|

，是否满足对任意x₁，x₂∈[-1，1]时，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4|x₁-x₂|．对于f₁（x）=x²-2x+5可直接代入化简即可得到答案，对于f2(x)=

|x|

考虑到取特殊值的方法，可以验证不成立．

解答：解：对于f₁（x）=x²-2x+5对任意x₁，x₂∈[-1，1]
|f₁（x₁）-f₁（x₂）|=|x₁²-2x₁-5-x₂²+2x₂+5|=|（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）|=|x₁-x₂||x₁+x₂-2|≤4|x₁-x₂|
故f₁（x）∈M．
对于f2(x)=

|x|

，对任意x₁，x₂∈[-1，1]
|f1(x1)-f1(x2) |=|

|x1|

-

|x2|

|
当x1=

1

64

，x2=0
则此时|f1(x1)-f1(x2) |=

1

8

≤  4•

1

64

=

1

16

，矛盾，
故f₂（x）∉M．
故选D．

点评：此题属于新概念的问题，题中考查了绝对值不等式的应用．对于此类型的题目需要对题目概念做认真分析再做题．属于中档题目．