Question

【题目】如图，在多面体中，两两垂直，四边形是边长为2的正方形，ACDGEF，且.

（1）证明：平面.

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）转化成证明平面，再证明四边形为平行四边形即可得到，即可得出平面.

(2)以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

（1）证明：因为两两垂直，//，//，

所以，所以平面，因为平面，

所以，因为四边形为正方形，所以，因为，所以平面，因为所以四边形为平行四边形，所以，所以平面.

（2）由（1）知互相垂直，故以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

所以.

设为平面的法向量，则

，

令，则，所以.

又因为平面，所以为平面的一个法向量，

所以，由图可知二面角是钝角，所以二面角的余弦值为.