Question

已知抛物线y＝x²－2(m－1)x＋(m²－7)与x轴有两个不同的交点，

(1)求m的取值范围；

(2)若抛物线与x轴的两个交点是A、B，且点B的坐标为(3，0)，求出A点的坐标、抛物线的对称轴和顶点坐标．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)∵抛物线y＝x²－2(m－1)x＋(m²－7)与x轴有两个不同的交点，∴方程y＝x²－2(m－1)x＋(m²－7)有两个不相等实数根．

　　∴Δ＝4(m－1)²－4(m²－7)＝－8m＋32＞0．

　　∴m＜4．

　　(2)∵抛物线y＝x²－2(m－1)x＋(m²－7)经过点B(3，0)，∴9－6(m－1)＋m²－7＝0．

　　即m²－6m＋8＝0．

　　解得m＝2或m＝4．

　　由(1)知m＜4，∴m＝2．

　　∴抛物线的解析式为y＝x²－2x－3．

　　令y＝0，得x²－2x－3＝0，解之得x₁＝－1，x₂＝3，∴A点的坐标为(－1，0)．

　　又y＝x²－2x－3＝(x－1)²－4，∴顶点坐标为(1，－4)，对称轴为直线x＝1．

　　点评：在第(2)小题中，求出m有两个解，但由第(1)小题中m的限制条件，另一解要舍去．

提示：

　　(1)抛物线与x轴有两个不同的交点，就是抛物线解析式对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，因此，由根的判别式Δ＞0，可得到m的取值范围；

　　(2)抛物线与x轴的交点坐标为(3，0)，即对应二次函数的一个零点，由此解出m，其他问题易解．