Question

已知点F（1，0），直线L：x=-1，动点P到点F的距离等于它到直线L的距离；
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点N（4，2）的直线m，使得直线m被轨迹C截得的弦AB恰好被点N平分．若存在，求直线m的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由抛物线的定义，即可得到所求轨迹C的方程；
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线m，设直线m与抛物线C交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用中点坐标公式，当直线m的斜率不存在时不合题意，设直线m的方程为y-2=k（x-4），联立抛物线方程，消去y，得到x的方程，由韦达定理，得到k的方程，解出k，检验即可判断．

解答： 解：（Ⅰ）∵点P到点F的距离等于它到直线l的距离，
∴点P的轨迹C是以F为焦点、直线l：x=-1为准线的抛物线，
其方程是：y²=4x； 
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线m，
设直线m与抛物线C交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，
当直线m的斜率不存在时不合题意，设直线m的方程为y-2=k（x-4），
联立方程组

y-2=k(x-4) y2=4x

得k²x²-（8k²-4k+4）x+（2-4k²）=0，
∴x₁+x₂=

8k2-4k+4

k2

=8，解得k=1，
当k=1时，方程x²-8x-2=0满足△＞0，
∴存在直线m，且所求的直线方程是x-y-2=0．

点评：本题考查抛物线的定义和方程，考查联立直线方程和抛物线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．