Question

如图，直角△ABC中，∠A=30°，∠B为直角，BC=1，D，E分别是AC，AB上的动点，且
DE∥BC，现将△ADE沿DE翻折，使得平面A'DE⊥平面BCDE，当DE运动时，四棱锥A'-BCDE体积的最大值为

 

．

Answer 1

分析：由题意设出AE=x，求出ED，然后求出四棱锥A'-BCDE体积的表达式，利用函数的导数求出函数的最大值即可．

解答：解：设AE=x，x∈（0，

3

），所以ED=

3 x

3

，所以四棱锥A'-BCDE体积：V=

1

3

x(

3

2

-

1

2

×

3

3

x2)=

3

6

x-

3

18

x3，
所以V′=

3

6

-

3

6

x2，令V′=0，解得x=1，x∈（0，1）函数单调递增，x∈[1，

3

）导数小于0，函数单调递减，所以x=1时，四棱锥A'-BCDE体积取得最大值，就是

3

6

-

3

18

=

3

9

；
故答案为：

3

9

．

点评：本题是中档题，考查棱锥的体积的求法，利用导数求解函数的最大值的方法，考查计算能力，空间想象能力．