Question

我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作．已知向量列满足：，．
（1）证明数列是等比数列；
（2）设θ_n表示向量间的夹角，求证cosθ_n是定值；
（3）若b_n=2nθ_n-1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量模的坐标公式求出的模，得到与的关系，利用等比数列的定义得证．
（2）利用向量的坐标形式的数量积公式求出的数量积，利用向量的模、夹角形式的数量积公式求出夹角的余弦．
（3）利用（2）求出夹角，代入b_n=2nθ_n-1，利用等差数列的前n项和公式求出S_n，求出极限值．
解答：解：（1）∵
=，
∴数列是等比数列
（2）∵
=
（3）∵，
∴，
∴
∴
∴=π
点评：解决向量的夹角问题一般利用向量的数量积公式求出夹角余弦，再利用夹角范围求出夹角；求数列的前n项和问题，应该先求出数列的通项，据通项的特点选择求和方法．