Question

【题目】设函数.

（1）设是的极值点，求，并讨论的单调性；

（2）若，证明：在区间内，存在唯一的极小值点，且.

Answer 1

【答案】（1），的单调减区间是，单调递增区间是（2）证明见解析；

【解析】

（1）利用可导函数在极值点处的导数值等于0可得，再验证函数在处取得极值，再根据导数符号可求得单调区间；

（2）根据导函数在内的单调性以及零点存在性定理可得导函数在内有唯一零点，从而可得函数在内存在唯一的极小值点，根据极值点的范围可证极值为正数.

（1）定义域为，.

由题设，所以.

此时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以是的极小值点.

综上，，的单调递减区间是，单调递增区间是.

（2）因为，所以在内单调递增.

因为，，所以存在，使得.

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以在区间内有唯一的极小值点，没有极大值点.

由得，于是.

因为当时，，所以.

综上，在区间内有唯一的极小值点，没有极大值点，且.