Question

【题目】如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为，且．

（1）求证：平面；

（2）设，若直线与平面所成的角为，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）根据菱形的特征和题中条件得到平面，结合线面垂直的定义和判定定理即可证明；
2建立空间直角坐标系，利用向量知识求解即可．

（1）证明：∵四边形是菱形，

，

平面

平面，

又是的中点，

，

又

平面

（2）

∴直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角．

平面，

∴直线与平面所成的角为，即．

因为，则在等腰直角三角形中，

所以．

在中，由得，

以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系．

则

所以

设平面的一个法向量为，

则，可得，

取平面的一个法向量为，

则，

所以二面角的正弦值的大小为．

（注：问题（2）可以转化为求二面角的正弦值，求出后，在中，过点作的垂线，垂足为，连接，则就是所求二面角平面角的补角，先求出，再求出，最后在中求出．）