Question

【题目】设 = ， =（4sinx，cosx﹣sinx），f（x）= ．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知常数ω＞0，若y=f（ωx）在区间 是增函数，求ω的取值范围；
（3）设集合A= ，B={x||f（x）﹣m|＜2}，若AB，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=sin2 4sinx+（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）

=4sinx +cos2x

=2sinx（1+sinx）+1﹣2sin2x=2sinx+1，

∴f（x）=2sinx+1．

（2）解：∵f（ωx）=2sinωx+1，ω＞0．

由2kπ﹣ ≤ωx≤2kπ+ ，

得f（ωx）的增区间是 ，k∈Z．

∵f（ωx）在 上是增函数，

∴ ．

∴﹣ ≥﹣ 且 ≤ ，

∴ ．

（3）解：由|f（x）﹣m|＜2，得﹣2＜f（x）﹣m＜2，即f（x）﹣2＜m＜f（x）+2．

∵AB，∴当 ≤x≤ 时，

不等式f（x）﹣2＜m＜f（x）+2恒成立，

∴f（x）max﹣2＜m＜f（x）min+2，

∵f（x）max=f（ ）=3，f（x）min=f（ ）=2，

∴m∈（1，4）．

【解析】（1）通过数量积的计算，利用二倍角公式化简函数的表达式，化为一个角的一个三角函数的形式，即可．（2）结合正弦函数的单调增区间，y=f（ωx）在区间 是增函数，说明 ．求出ω的取值范围；（3）简化集合B，利用AB，得到恒成立的关系式，求出实数m的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦函数的单调性的相关知识，掌握正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数．