题目内容
【题目】设函数
， 
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)当
， 
时，求证： 
.
【答案】(1)增区间为： 
， 
.减区间为
， 
.(2) 见解析。
【解析】试题分析：（1）本问考查利用导数求函数的单调性，首先确定函数的定义域为
，对
求导数
，解
得增区间，解
得减区间；（2）本问考查利有导数证明不等式，当
时，只需证： 
，即转化为证明
当
时成立，构造函数
，转化为证明
在
时恒成立即可，转化为求函数
的最小值问题.
试题解析：(1)函数
的定义域为
，当
时， 
，
令： 
，得： 
或
，所以函数单调增区间为： 
， 
.
，得： 
，所以函数单调减区间为
， 
.
(2)若证
， 
成立，只需证： 
，
即： 
当
时成立.
设
.
∴
，显然
在
内是增函数，
且
， 
，
∴
在
内有唯一零点
，使得： 
，
且当
， 
；
当
， 
.
∴
在
递减，在
递增.
，
∵
，∴
.
∴
，∴
成立.
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