Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=2，AB=4，CC₁=4，E在BB₁上，且EB₁=1，D、F分别为CC₁、A₁C₁的中点．
（1）求证：B₁D⊥平面ABD；
（2）求异面直线BD与EF所成的角；
（3）求点F到平面ABD的距离．

Answer 1

分析：（1）由已知中直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=2，AB=4，CC₁=4，E在BB₁上，且EB₁=1，我们根据勾股定理，可得B₁D⊥DB，再由直三棱柱的性质可得BA⊥B₁D，进而根据线面垂直的判定定理可得B₁D⊥面ABD；
（2）取B₁C₁的中点G，连接GE、GF，则EG∥BD，我们可得∠GEF或其补角为BD、EF所成角，解三角形EGF即可求出异面直线BD与EF所成的角；
（3）设F到面ABD的距离为d，过B作BH⊥AC于H，则BH⊥面ACC₁A₁，求出棱锥F-ABD的体积及底面面积即可求出点F到平面ABD的距离．

解答：证明：（1）由条件得DB=2

2

，DB1=2

2

，BB1=4
∴BD²+DB₁²=BB₁²
∴B₁D⊥DB，
又AB⊥面BCC₁B₁，
∴BA⊥B₁D
∴B₁D⊥面ABD（3分）
解：（2）取B₁C₁的中点G，连接GE、GF，则EG∥BD，
∴∠GEF或其补角为BD、EF所成角（4分）
∵A₁B₁⊥面BCC₁B₁，GF∥A₁B₁∴FG⊥面BCC₁B₁，∴FG⊥GE
在Rt△EGF中，GE=

2

，GF=2，∴tan∠GEF=

2

∴BD与EF所成角为arctan

2

（8分）
（3）设F到面ABD的距离为d，过B作BH⊥AC于H，则BH⊥面ACC₁A₁
∵V_F-ABD=V_B-DAF，∴

1

3

•S△ABD•d=

1

3

•S△ADF•BH
∴

1

3

•

1

2

•4•2

2

•d=

1

3

•(4•2

5

-

1

2

•2•2

5

-

1

2

•4•

5

-

1

2

•2

5

)•

2•4

2 5

∴d=

3 2

2

（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，点面之间的距离计算，（1）的关键是根据已知得到B₁D⊥DB，BA⊥B₁D，（2）的关键是找出异面直线夹角的平面角，（3）的关键是利用翻转法求出棱锥F-ABD的体积．