Question

17．在△ABC中，A=$\frac{π}{3}$，cosB=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，BC=6．
（Ⅰ）求AC的长；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知结合平方关系求得sinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，再由正弦定理求得AC的长；
（Ⅱ）由sinC=sin（B+60°）展开两角和的正弦求得sinC，代入三角形的面积公式求得△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）∵cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，B∈（0，π），
又sin²B+cos²B=1，解得sinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
由正弦定理得：$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}$，即$\frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
∴AC=4；
（Ⅱ）在△ABC中，sinC=sin（B+60°）=sinBcos60°+cosBsin60°
=$\frac{1}{2}sinB+\frac{\sqrt{3}}{2}cosB$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{6}$．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AC•BCsinC=\frac{1}{2}×4×6×\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{6}$=$2\sqrt{3}+6\sqrt{2}$．

点评 本题考查了解三角形，关键是对正弦定理的应用，是中档题．