题目内容

设圆锥的母线长为l，底面半径为r，满足条件“它的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的 $数学公式$ ”的情况有且只有一种，则 $数学公式$ =________．

$\text{[math]}$
分析：由题意画出圆锥及其内接圆柱的轴截面图，设出圆锥的高，圆柱的高和底面半径，然后根据平行关系建立方程，由满足条件“圆锥的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的 $\text{[math]}$ ”的情况有且只有一种知方程有唯一解，利用方程的判别式等于0得圆锥的母线长l与底面半径r的关系．
解答：

解：由题意画出轴截面图，如图所示，
圆锥的母线长为l，底面半径为r，
设圆锥高为h，内接圆柱高为x，底面半径为y，
∵CD∥AB，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
∴圆锥的侧面积S₁=πrl，圆柱的侧面积S₂=2πx•y= $\text{[math]}$ ．
由圆锥的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的 $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，也就是 $\text{[math]}$ ．
又“圆锥的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的 $\text{[math]}$ ”的情况有且只有一种
∴方程 $\text{[math]}$ 有且只有一个解，
∴△= $\text{[math]}$ =0，
即 $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
整理得： $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
∴圆锥的母线长为l，底面半径为r，满足条件“它的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的 $\text{[math]}$ ”的情况有且只有一种时的 $\text{[math]}$ ．
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了旋转体中组合体的关系，考查了学生的观察与分析能力，考查了空间想象能力，解答此题的关键是把题目给出的条件转化成方程有唯一解，体现了数学转化思想，同时训练了学生对一元二次方程有唯一解情况的处理，是中档题．