Question

已知函数

   （1）求函数是单调区间；

   （2）如果关于的方程有实数根，求实数的取值集合；

   （3）是否存在正数，使得关于x的方程有两个不相等的实数根？如果存在，求满足的条件；如果不存在，说明理由.

Answer 1

解：（1）函数的定义域是对求导得

   …………（2分）

由 ,由

因此 是函数的增区间；

（－1，0）和（0，3）是函数的减区间    ………………（5分）

（2）因为

所以实数m的取值范围就是函数的值域

对

令

∴当x=2时取得最大值，且

又当x无限趋近于0时，无限趋近于无限趋近于0，

进而有无限趋近于－∞.因此的值域是

即实数m的取值范围是  ………………（10分）

（3）结论：这样的正数k不存在。        ………………（11分）

若存在正数k，使得关于x的方程有两个不相等的实数根，则

由①和②可得

利用比例性质得 

即    …………（13分）

由于上的恒正增函数，且

又由于 上的恒正减函数，且

∴

∴

这与（*）式矛盾。因此满足条件的正数k不存在  ……………………15分