题目内容

设M是椭圆
x2
4
+
y2
3
=1上的动点，A1和A2分别是椭圆的左、右顶点，则
MA1
•
MA2
的最小值等于______
设M（x0，y0），则
MA1
=(-2-x0，-y0)，
MA2
=(2-x0，-y0)?
MA1
•
MA2
=x02+y02-4=x02+(3-
3
4
x02)-4=
1
4
x02-1，
显然当x0=0时，
MA1
•
MA2
取最小值为-1．
答案：-1．
练习册系列答案
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精英家教网在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．
A、如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上．求证：PE是⊙O的切线．
B、设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
（1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（2）求逆矩阵M-1以及椭圆
x2
4
+
y2
9
=1在M-1的作用下的新曲线的方程．
C、已知某圆的极坐标方程为：ρ2-4
2
ρcos(θ-
π
4
)+6=0．
（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；并选择恰当的参数写出它的参数方程；
（Ⅱ）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．
D、若关于x的不等式|x+2|+|x-1|≥a的解集为R，求实数a的取值范围．
设F1、F2分别是椭圆
x2
4
+y2=1的左、右焦点．
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求向量乘积
PF1
•
PF2
的取值范围；
（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且∠MON为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
（3）设A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形AEBF面积的最大值．
（2012•江苏二模）如图，已知椭圆C：
x2
4
+y2=1，A、B是四条直线x=±2，y=±1所围成的两个顶点．
（1）设P是椭圆C上任意一点，若
OP
=m
OA
+n
OB
，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动，并求出定圆的方程；
（2）若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由．
如图，双曲线C1：
x2
4
-
y2
b2
=1与椭圆C2：
x2
4
+
y2
b2
=1（0＜b＜2）的左、右顶点分别为A1、A2第一象限内的点P在双曲线C1上，线段OP与椭圆C2交于点A，O为坐标原点．
（I）求证：
kAA1+kAA2
kPA1+kPA2
为定值（其中kAA1表示直线AA1的斜率，kAA2等意义类似）；
（II）证明：△OAA2与△OA2P不相似．
（III）设满足{（x，y）|
x2
4
-
y2
m2
=1，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|
x2
4
-
y2
3
＞1，x∈R，y∈R} 的正数m的最大值是b，求b的值．
（2011•重庆一模）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为椭圆
x2
4
+
y2
3
=1d的右焦点，点A、B为抛物线上的两点，O是抛物线的顶点，OA⊥OB．
（I）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）求证：直线AB过定点M（4，0）；
（III）设弦AB的中点为P，求点P到直线x-y=0的最小值．

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