Question

设F₁、F₂分别是椭圆

x2

4

+y²=1的左、右焦点．
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求向量乘积

PF1

•

PF2

的取值范围；
（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且∠MON为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
（3）设A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形AEBF面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题设知a=2，b=1，c=

3

，F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，设P（x，y），则

PF1

•

PF2

=(-

3

-x，-y)•(

3

-x，-y)=x²+y²-3=

1

4

(3x2-8)．由此能够求出向量乘积

PF1

•

PF2

的取值范围．
（2）设直线l：y=kx-2，M（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y=kx-2 x2 4 +y2=1

，得：(k2+

1

4

)x2+4kx+3=0，由韦达定理和根的判别式知：k＜

3

2

或k＞-

3

2

，又0°＜∠MON＜90°?cos∠MON＞0?

OM

•

ON

＞0，由此能求出直线l的斜率k的取值范围．
（3）由题设|BO|=1，|AO|=2．设y₁=kx₁，y₂=kx₂，由x₂＞0，y₂=-y₁＞0，故四边形AEBF的面积为S=S_△BEF+S_△AEF=x₂+2y₂=

(x2+2y2)2

，由此能求出S的最大值．

解答：解：（1）根据题意易知a=2，b=1，c=

3

，所以F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，
设P（x，y），则

PF1

•

PF2

=(-

3

-x，-y)•(

3

-x，-y)=x²+y²-3
=x2+1-

x2

4

-3
=

1

4

(3x2-8)．
故-2≤

PF1

•

PF2

≤1．
（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx+2，M（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=kx+2 x2 4 +y2=1

，消去y，整理得：(k2+

1

4

)x2+4kx+3=0，
∴x1+x2=-

4k

k2+ 1 4

，x1x2=

3

k2+ 1 4

，
由△=(4k)2-4(k+

1

4

)×3=4k2-3＞0，
得：k＜-

3

2

或k＞

3

2

，
又0°＜∠MON＜90°?cos∠MON＞0?

OM

•

ON

＞0，
∴x₁x₂+y₁y₂＞0，
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=

3k2

k2+ 1 4

+

-8k2

k2+ 1 4

+4
=

-k2+1

k2+ 1 4

．
∵

3

k2+ 1 4

+

-k2+1

k2+ 1 4

＞0，
即k²＜4，∴-2＜k＜2．
故由①、②得-2＜k＜-

3

2

，或

3

2

＜k＜2．
（3）由题设，|BO|=1，|AO|=2．
设y₁=kx₁，y₂=kx₂，由x₂＞0，y₂=-y₁＞0，
故四边形AEBF的面积为S=S_△BEF+S_△AEF=x₂+2y₂=

(x2+2y2)2

=

x22+4y2 2+4x2y2

≤

2(x22+4y22)

=2

2

，
当x₂=2y₂时，上式取等号．所以S的最大值为2

2

．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．