Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，AA₁=1，点E为AB的中点．求点E到平面A₁DC₁的距离．

Answer 1

分析：以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，可得D、E、A₁、C₁各点的坐标，从而算出的坐标

DA1

、

DC1

、

DE

的坐标，利用垂直的向量数量积为零的方法算出

n

=(-1，-

1

2

，1)是平面DA₁C₁的一个法向量，再利用点到平面的距离公式，即可算出点E到平面A₁DC₁的距离．

解答：解：以D为坐标原点，DA、DC、DD₁依次为x、y、z轴，
建立如图所示空间直角坐标系，可得E（1，1，0），
A₁（1，0，1），C₁（0，2，1）．
从而

DA1

=(1，0，1)，

DC1

=(0，2，1)，

DE

=(1，1，0)
设平面DA₁C₁的法向量为

n

=(x，y，z)，
由

n • DA1 =0 n • DC1 =0

，得

x+z=0 2y+z=0

．
令x=1，得

n

=(-1，-

1

2

，1)，
∴点E到平面A₁DC₁的距离为d=

| n • DE |

| n |

=

|-1×1+(- 1 2 )×1+1×0|

(-1)2+(- 1 2 )2+12

=1．

点评：本题给出长方体的长、宽、高，求一条棱的中点到经过顶点截面的距离．着重考查了长方体的性质、点到平面垂直的求法等知识，属于中档题．