Question

设直线L₁：y=k₁x+p，p≠0交椭圆Γ：=1（a＞b＞0）于C、D两点，交直线L₂：y=k₂x于点E．
（1）若E为CD的中点，求证：；
（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；
（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）设点作差，利用点差法，结合E为CD的中点，即可证明结论；
（2）写出逆命题，证法一，直线方程与椭圆方程联立，利用条件及中点坐标公式，即可得到结论；证法二，利用点差法证明；
（3）利用类比的方法，即可得到结论．
解答：（1）证明：设C（x₁，y₁）D（x₂，y₂）E（x，y），则，
两式相减得
即…（3分）
∴
∴…（7分）
（2）解：逆命题：设直线L₁：y=k₁x+p交椭圆于C、D两点，交直线L₂：y=k₂x于点E．若，则E为CD的中点．…（9分）
证法一：由方程组…（10分）
因为直线L₁：y=k₁x+p交椭圆C、D于C、D两点，
所以△＞0，即，设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）、E（x，y）
则∴，…（12分）

又因为，所以，故E为CD的中点．…（14分）
证法二：设C（x₁，y₁）D（x₂，y₂）E（x，y）
则，
两式相减得
即…（9分）
又∵，即…（12分）∴
得x₁+x₂=2x∴y₁+y₂=2y，即E为CD的中点．…（14分）
（3）解：设直线L₁：y=k₁x+p，p≠0交双曲线于C、D两点，交直线L₂：y=k₂x于点E．
则E为CD中点的充要条件是．…（16分）
点评：本题考查直线与椭圆、双曲线的位置关系，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用点差法是关键．