Question

【题目】数列的数列的首项，前n项和为，若数列满足：对任意正整数n，k，当时，总成立，则称数列是“数列”

（1）若是公比为2的等比数列，试判断是否为“”数列？

（2）若是公差为d的等差数列，且是“数列”，求实数d的值；

（3）若数列既是“”，又是“”，求证：数列为等差数列.

Answer 1

【答案】（1）不是“”数列；（2）；（3）证明见解析；

【解析】

（1）假设是数列，由已知，可得，当时，，，，故可判断不是为为数列；

（2）设的公差为d，则，由题意，即，解方程即可；

（3）由数列既是“数列”，又是“数列”，可得，，进一步推理可得成等差数列，成等差数列，从而即成等差数列.

（1）因为，，所以，

假设是数列，

则当时，则成立，

但时，，，，

所以假设不成立，不是为为数列.

（2）设的公差为d，则，

因为是“数列”，

则，

即，

所以，即.

（3）数列既是“数列”，又是“数列”，

所以

②-①得：，，

④-③得：，

又③-①得：，

④-②得：，

所以成等差数列，设公差为，

成等差数列，设公差为，

因此，

所以对恒成立，

即成等差数列，设公差为d，

在（1）（2）中分别取，得：

，解得，，所以.