Question

【题目】如图1 ,在△ABC中，AB=BC=2, ∠B=90°,D为BC边上一点，以边AC为对角线做平行四边形ADCE，沿AC将△ACE折起，使得平面ACE ⊥平面ABC,如图2.

(1)在图 2中，设M为AC的中点，求证:BM丄AE；

(2)在图2中，当DE最小时，求二面角A -DE-C的平面角.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）根据题设条件推出，再由平面平面推出平面，即可得证；（2）分别以射线， 的方向为， 轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出当最小时，点和的坐标，分别求出平面和平面的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角的平面角.

试题解析：（1）证明：∵在中， ，

∴当为的中点时，

∵平面平面， 平面，平面平面

∴平面

∵平面

∴

（2）如图，分别以射线， 的方向为， 轴的正方向，建立空间直角坐标系

设，则， ， ，

∵， ，平面平面

∴

∴

当且仅当时， 最小，此时，

设， 平面，则，即

∴

令，可得， ，则有

∴

∴观察可得二面角的平面角